第一章 随机事件和概率 a+]=3o
第一节 基本概念 E?08=$^5%
7^Onq0ym T
1、排列组合初步 \D}/tz5~B
(1)排列组合公式 nh9K(
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 |u;5|i
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 9,,v0tE
例1.1:方程 的解是 M6?Q w=
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 NpRC3^
例1.2:有5个队伍参加了甲A联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? ;utjW1y
K{|;'N-1
(2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n G0*$&G0nb
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 4a)qn?<z
?on3z
(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n b|fq63ar;
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 g]d"d
例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? _&w!JzpXT
例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? qvk?5#B
例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 NU
6P
A.120种 B.140种 C.160种 D.180种 W
BiBtU
T@Q.m.iV4
*4(.=k
Qgf_
)(!vd!p5
(4)一些常见排列 D% 50
① 特殊排列 msoE8YK&tg
相邻 45-pJf8F
彼此隔开 N$=<6eQm
顺序一定和不可分辨 C2`END;
例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? @8_K^3-~e
①3个舞蹈节目排在一起; H<FDi{
②3个舞蹈节目彼此隔开; %HSoQ?qA
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 _N<qrH^;
例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? ~KX!i
8+X
例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? +F0M?,
wL%>
② 重复排列和非重复排列(有序) v1)jZ.:
例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? j4NS5
].1R~7b
③ 对立事件 ;CU3CLn
例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? ?^@;8m
例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? bo@1c0
例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性? 'rCwPsI&4
}S42.f.p
④ 顺序问题 Wxg|jP$~
例1.13:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序) lR-4"/1|y
例1.14:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序) ]AfeaU'>
例1.15:3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序) 4Q!*h8O
u37+B
2、随机试验、随机事件及其运算 q=6M3OnS>
(1)随机试验和随机事件 4lz9z>J.V
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 L;v#9^Fq
例如:掷一枚硬币,出现正面及出现反面;掷一颗骰子,出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件;电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数(泊松分布);对某一目标发射一发炮弹,弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件(正态分布)。 NVOY,g=3X
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: 4ci
@$nL1
(1) 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ZB%7Sr0
(2) 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 Z?^AX&F
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示,例如 (离散)。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。 UHxXa*HyI
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。 1g|H8CA
如果某个 是事件A的组成部分,即这个 在事件A中出现,记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ,则称在这次试验中事件A发生。 Wk$%0xZ7
如果 不是事件A的组成部分,就记为 。在一次试验中,所出现的 有 ,则称此次试验A没有发生。 7ZJYT#>b
为必然事件,Ø为不可能事件。 X+hyUz(%R
;%Z)$+Z_)<
(2)事件的关系与运算 M'[J0*ip
①关系: o 0fsM;K
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生): 1o.]"~0:
如果同时有 , ,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 |~uCLf>
A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 X\flx~
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者 ,它表示A发生而B不发生的事件。 :]?I| .a
A、B同时发生:A B,或者AB。A B=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 m@TU2
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 'Z;R!@Dm
②运算: =o9
%)
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C `qUmOFl
分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) J/)Q{*`_
德摩根率: , m}8c.OJ>K`
QhN5t/Hr
例1.16:一口袋中装有五只乒乓球,其中三只是白色的,两只是红色的。现从袋中取球两次,每次一只,取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件, 表示取到的两只球是红色的事件,试用 、 表示下列事件: X4 xnr^
(1)两只球是颜色相同的事件 , Nhuw8Xv
(2)两只球是颜色不同的事件 , C
!uwD
(3)两只球中至少有一只白球的事件 。 Z(CzU{7c
例1.17:硬币有正反两面,连续抛三次,若Ai表示第i次正面朝上,用Ai表示下列事件: :5p`H
(1)前两次正面朝上,第三次正面朝下的事件 , |nv8&L8
(2)至少有一次正面朝上的事件 , Xo$(zGb
(3)前两次正面朝上的事件 。 X$J
3、概率的定义和性质 y/
vE
(1)概率的公理化定义 !WAbO(l
设 为样本空间, 为事件,对每一个事件 都有一个实数P(A),若满足下列三个条件: o_jVtEP
1° 0≤P(A)≤1, ALPZc:
2° P(Ω) =1 z${DW@o3
3° 对于两两互不相容的事件 , ,…有 (i&:=Bfn)
@#;~_?$?C
常称为可列(完全)可加性。 0(HUy`]>
则称P(A)为事件 的概率。 &@nI(PXv
'V } -0
(2)古典概型(等可能概型) +.gZILw
1° , 9Yd<_B#
2° 。 bm`x
设任一事件 ,它是由 组成的,则有 0<nk>o
P(A)= = s}X2*o`,
A"d=,?yE
例1.18:集合A中有100个数,B中有50个数,并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个,抽到满足a+b=10的a,b的概率。 ZC@Pfba[`
例1.19:5双不同颜色的袜子,从中任取两只,是一对的概率为多少? THkg,*;:
例1.20:在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者,则指定的4个座位被坐满的概率是 qy/xJ>:
A. B. C. D. t 8|i>(O
例1.21:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的概率?(有序) 8+^q9rLii
例1.22:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的概率?(有序) o yK'h9Wt1
例1.23:3白球,2黑球,任取2球,2白的概率?(无序) PA&Ev0`+
M;-PrJdyt
注意:事件的分解;放回与不放回;顺序问题。 !CY:XQm
yIA-+# r[
4、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯) /Rf:Z.L
(1)加法公式 KZ>cfv-&a
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ^e1@o\]
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B) Z<@0~t_:?p
例1.24:从0,1,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: 2.qEy6
A=“三个数字中不含0或者不含5”。 gwm!Pw j
xG/B$DLn
(2)减法公式 4hz T4!15
P(A-B)=P(A)-P(AB) "A6m-xE~
当B A时,P(A-B)=P(A)-P(B) whxTCI V
当A=Ω时,P( )=1- P(B) oIrO%v:'!
例1.25:若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3,求P(A+B)和P( + ). n
9PYZxy
例1.26:对于任意两个互不相容的事件A与B, 以下等式中只有一个不正确,它是: @>cz$##`
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1 ";yey ]
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) GRM6H|.
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ ) S6Y2(qdP
aS=-9P;v
(3)条件概率和乘法公式 JuQwZ]3ed
定义 设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称 为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为 。 m Q4(<,F
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 %<8`(Uu5
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) JlR$"GU
乘法公式: %D1 |0v8}
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有 WX6}@mS.
… …… … 。 G!dx)v
GZH{"_$
例1.27:甲乙两班共有70名同学,其中女同学40名,设甲班有30名同学,而女生15名,问在碰到甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率。 _t&`T
例1.28:5把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问以下事件的概率? :e1kpQ
①第一次打开;②第二次打开;③第三次打开。 l0 =[MXM4
}C4wED.
(4)全概公式 R!f<6l8#W
设事件 满足 5C0![$W>
1° 两两互不相容, , aKjP{Z0k$
2° , hh8Grl;
则有 ];xDXQd
。 }`cf3'rdk
此公式即为全概率公式。 vMd3#@
Yw] 7@
@<NuuYQ&
例1.29:播种小麦时所用的种子中二等种子占2%,三等种子占1.5%,四等种子占1%,其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 NNt
n
例1.30:甲盒内有红球4只,黑球2只,白球2只;乙盒内有红球5只,黑球3只;丙盒内有黑球2只,白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球,它是红球的概率是: c+D<
A.0.5625 B.0.5 C.0.45 D.0.375 E. 0.225 "!+gA&
例1.31:100个球,40个白球,60个红球,不放回先后取2次,第2次取出白球的概率?第20次取出白球的概率?